[Schwer,Physik] Loch durch die Erde

  • Also, da Herr K. so gut mit der Bohrmaschine umgehen kann, hat er es letztendlich geschafft! Er hat ein Loch mitten durch die Erde gebohrt und ist auf der anderen Seite wieder rausgekommen. Nun möchte Herr K. aber wieder zurück.
    Unter der Prämisse, dass er wenn er durch sein Loch fällt nicht an die Wände anschlägt kommen folgende zwei Fragen in seinen Kopf:


    a) Wie schnell ist er wenn er die Mitte der Erde erreicht?
    b) Wie lange braucht er wohl für so eine Reise?


    Nur die Frage wie schnell er ist, wenn er wieder draußen ist kann er sich sofort beantworten, so schnell wie beim reinspringen, für die anderen Antworten sucht er einen australischen Physiker, und findet euch!



    Ihr braucht mindestens 2 der Angaben im Spoiler wenn ihr geschickt vorgeht, 3 wenn ihr ungeschickt vorgeht, und wenn ihr ganz ungeschickt seit, braucht ihr vermutlich ein Computer Algebra System.

  • japp, ohne Luftwiederstand, das ist sonst zu schwer, sonst hätte ich es als [Unlösbar] betitelt, also ja verlustfrei, konservativ oder wie auch immer.

  • Boah... beim drüber nachgrübeln kristallisiert sich grad n bisschen die Tatsache raus, das ich wohl der mit´m Algebrasystem bin o_O Ich meine, ich weiss, wenn du die Erdbeschleunigung mit 10 Metern pro Sekunde angibst und sonstige Störfaktoren wegfallen ist er nach 5 Sekunden 50 m/s schnell und nach 10 Sekunden 100 m/s.
    Aber wie geht´s weiter, wird die Erdbeschleunigung geringer, je näher man dem Zentrum kommt oder nicht? Und wie berechnet man überhaupt, wie lange etwas für ne Strecke braucht, wenn es konstant beschleunigt..? Fragen über Fragen... x_X

  • Wenn du das so siehst, bist du der mit dem Algebra-System.


    Die Erdbeschleunigung wird geringer wenn man Richtungzentrum geht,


    g [Erdbeschlungung] = G M/r^2


    Wobei G die Gravitationskonstante, M die Masse in der Kugel die noch zwischen dir und der Mitte ist, und r der Abstand zum Mittelpunkt ist.


    Wenn du Erdmasse, Erdradius und Gravitationskonstante einsetzt kommst du halt auf 10 m/s.


    Besser ist es eine alternative Bewegung zu finden, die einfacher zu beschreiben ist als der Fall durch den Mittelpunkt der Erde. Als Hinweis könnte ich nochmal geben, dass das Schwerefeld der Erde konservativ ist.


    Denn sonst hast du nur als Information:
    (Kraft) = ma = GmM/r^2
    Hier ist a die Beschleunigung.

  • Zitat

    Original von Tengen


    Besser ist es eine alternative Bewegung zu finden, die einfacher zu beschreiben ist als der Fall durch den Mittelpunkt der Erde...


    Naja, ich versuch ja eh schon nurmal bis zum Erdmittelpunkt zu kommen o_O
    Aber fassen wir mal zusammen was ich bisher kapiert hab:


    Zu beginn fällt der Körper... naja, sagen wir einfach mal eher langsam, mit einer Beschleunigung von 10m/s. Nach 6367500 liegt die Beschleunigung bei Null, die Geschwindigkeit aber ist am höchsten.
    Und bekannt wären ja schon ein paar Dinge, die Fallhöhe, die Geschwindigkeit beim Start und mit der Formel hier

    Zitat

    g [Erdbeschlungung] = G M/r^2


    lässt sich ja die Beschleunigung zu jedem Augenblick bestimmen. Ich wüsst nur gern wie ich das alles sinnvoll verknüpfen könnte sodass ich mal irgendwie auf ein "t" käme oder ein "v"
    (Und irgendwie fällt mir grad ein, dass ich mich bei dem Mann und seinem Hund damals auch selten dämlich angestellt hab... o_O")

  • japp, die Geschwindigkeit am Erdmittelpunkt ist am größten, und die Beschleunigung ist null, ich kann dir sogar zeigen wie man Mathematisch drauf kommt:


    du kannst natürlich sagen:


    M ist die eingeschlossene Masse = Dichte mal Volumen


    wobei die Dichte in unserem Fall Masse/Gesamtvolumen ist. Also ist die Verbleibende eingeschlossene Masse:


    Masse der Erde * r^3/R^3


    Wobei r, der Aktuelle Radius, und R der Erdradius ist.


    So hast du dann Beschleunigung a(r) = -G* M/R^3 * r = -g/R * r
    [Das Minuszeichen, weil man ja Richtung Mittelpunkt fällt...]


    Wenn jetzt a(r) = konstant, wäre könntest du einfach a * t nehmen für die Geschwindigkeit, allerdingst hast du hier sowas wie a(r(t)) was die Sache ziemlich ekelig gestaltet.
    Es gilt ja: dv/dt = a und dr/dt = v; also d^2r/dt^2 = a



    Ich zitiere nochmal aus Wikipedia, diesmal genauer:


  • Hm... bis hierhin hab ichs geschnallt - dann siehts für mich wieder so aus als wär dir ne Katze über die Tastatur gelaufen... ^^"


    Aber mal sehen und überlegen... wobei, etwas muss ich doch noch fragen, wegen dem hier:


    Zitat

    Es gilt ja: dv/dt = a und dr/dt = v; also d^2r/dt^2 = a


    Also den ersten Teil versteh ich, das kleine d steht ja für Delta, also Änderung. Aber was bedeutet d^2r/dt^2 = a ?
    Delta hoch 2 mal dem aktuellen Radius dividiert durch delta-t hoch 2 = a?


    Stimmt das so, weil ein delta-nichts kann man ja schlecht hochnehmen? Und dann noch ne blöde Frage... was bedeutet a(r) ? Also wegen der Klammern, mein ich x_X

  • Die aktuelle Erdbeschleungigung die du erfährst ist ja:


    g = GM(r)/r^2


    Wobei ich g jetzt einfach mal a nennen will, da ich lieber g also 10m/s = GM/R^2 haben würde.


    a = GM(r)/r^2


    Setzt man nun das M(r) = M r^3/R^3 ein
    hat man halt:


    a= G M r^3/(R^3 * r^2) = GM r/R^3 = g*r/R


    Da die Beschleunigung in negative Richtung zeigt sollte die Tatsächliche beschleunigung sowas sein wie:
    a = -g/R * x
    mit x dem Abstand vom Erdmittelpunkt, wäre da ein + würde die nach außen gehen und wir alle würde Wegfliegen :D


    aber naja auf dem weg das zu Lösen ist halt zu schwer...
    Wegunabhänig ist das Stichwort -- es gibt sicher ne Einfache Bewegung die man Beschreiben kann die dasselbe liefert, auch wenn es nicht derselbe weg ist.

  • öh, gerne, ich erwarte auch nicht, dass dieses hier schnell gelöst wird.

  • Hm... nachdem ich nochmals etwas recherchiert hab komm ich zu dem Schluss...



    Allerdings muss ich gestehen, vom Rechenweg hab ich nach wie vor keinen Plan, ich fand blos nen, wie ich fand, aufschlussreichen Artikel bei Wikipedia... ^^"

  • Richtig Richtig :D


    Es ist Wegunabhhängig, also wird man die gleiche Zeit brauchen, wenn man außen rum, sprich auf der höhe des Erdradius sich bewegt.


    Da man sich nun auf Konstantem Radius bewegt, wird man eine Konstante Geschwindigkeit haben. Diese muss dieselbe sein wie im Mittelpunkt der Erde.


    Also als erstes die Geschwindigkeit ausrechenen. Wir nehmen an dass die Erde eine perfekte Kugel ist:


    Zentripetalkraft = Erdbeschleunigung
    mv^2/r = m * g
    da m nicht null ist dürfen wir es auf beiden Seiten entfernen, und haben:
    v^2 = g * r


    Wobei r der Erdradius ist.
    Naja und dann Pi*r [Halber Umfang] = v * t
    Pi*r/v = t


    zurechnen für die Zeit ist obligatorisch.